11.10.21 Einführung

Ziel der Linearen Algebra: Lösung von linearen Gleichungs / Optimierungsproblemen

Vektoren und Skalarprodukte

Beispiel: Welche Kosten K entstehen, wenn vom Produkt i mit i = 1,…,n jeweils v1 Stück zum Preis p gekauft werden sollen? $\( v = \left(\begin{array}{c} v_1 \\ ... \\ v_n \end{array}\right) , p = \left(\begin{array}{c} p_1 \\ ... \\ p_n \end{array}\right) \\ \rightarrow K = \sum_{i=1}^n = v_i p_1 = <v_ip> \implies \text{Skalarprodukt} \)\( **Skalarprodukt:** elementweise Multiplikation zweier Vektoren + aufaddieren, Notation = \)(x,y)$

weitere vektoroperationen:

• Addition: x+y

  • \(\left(\begin{array}{c} x_1 \\ ... \\ x_n \end{array}\right) + \left(\begin{array}{c} y_1 \\ ... \\ y_n \end{array}\right) := \left(\begin{array}{c} x_1+y_1 \\ ... \\ x_n + y_n \end{array}\right) \)

• Substraktion x-y

  • gleich wie bei Addition, nur \(x-y = x+(-1)y\)

• Skalarmultiplizieren: v * alpha mit alpha einer reellen Zahl

  • \(a \left(\begin{array}{c} v_1 \\ ... \\ v_n \end{array}\right) := \left(\begin{array}{c} av_1 \\ ... \\ av_n \end{array}\right) \)

Gesetze:

1. x + y = y + x (Kommutativ)

2. x + (y + z) = (x + y) + z (Assoziativ)

3. a(x + y) = ax + ay (Disitributiv)

   • Beweis : $$ a (x+y) = a(\left(\begin{array}{c} x_1 \ … \ x_n \end{array}\right) + \left(\begin{array}{c} y_1 \ … \ y_n \end{array}\right)) =

     \left(\begin{array}{c} a(x_1+y_1) \ … \ a(x_n+y_n) \end{array}\right) =

     \left(\begin{array}{c} ax_1+ay_1 \ … \ ax_n+ay_n \end{array}\right)

     \ = \left(\begin{array}{c} ax_1 \ … \ ax_n \end{array}\right) + \left(\begin{array}{c} ay_1 \ … \ ay_n \end{array}\right) =

     a\left(\begin{array}{c} x_1 \ … \ x_n \end{array}\right) + a\left(\begin{array}{c} y_1 \ … \ y_n \end{array}\right) = \bold{ax + ay} $$

​

4. (ab)x = a(bx) (auch Distributiv)

Euklidisches Skalarprodukt

Notation: \(|x| = \sqrt{(x,x)} \) -> Länge des Vektors x

Eigenschaften:

1. Symmetrie: (x,y) = (y,x)

2. Linearität: (x,y + z) = (x,y) + (x,z)

   • (ax,y) = a(x+y)

3. Definitheit: |x| > 0, außer Nullvektor

4. Dreiecksungleichung: |x+y| \(\leq\) |x| + |y|

Fancy Eigenschaften:

• Allgeimeiner Kosinus Satz: Mit alpha = Winkel zwischen den Vektoren

  \( (x,y) = |x||y|\cos(\alpha) \\ \implies |(x,y)| \leq |x||y|\)

• Orthogonalität: wenn (x,y) = 0 : senkrecht aufeinander

**Beispielrechnung: **Bestimme Winkel zwischen x und y $\( x = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) y = \left(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \\ -3 \end{array}\right) \\ <x,y> = |x|*|y|* cos(\alpha) \\ \text{Umstellen: } cos(\alpha) = \frac{<x,y>}{|x|*|y|} \\ \text{Rechnen: } \\ <x,y>= 0*4 + 2*0 + 1*0 + 2*-3 = -6 \\ |x| = \sqrt{0*0 + 2*2 + 1*1 + 2*2} = 3 \\ |y| = \sqrt{4*4+0*0+0*0+-3*-3} = 5 \\ \implies cos(\alpha) = \frac{-6}{3*5} = arccos(\frac{-6}{15}) \implies \alpha =113,6° \)$

Einheitsvektoren:

def: Einheitsvektor \(e_i\) heißt eine 1 an Stelle i und sonst 0, BSP: \(e_1 = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ ... \\ 0 \end{array}\right)\)

jeder Vektor lässt sich durch Einheitsvektoren darstelle

-> Einheitsv. \((e_1,...,e_n)\) sind Basis von \(R^n\)