02.12.2022 Versicherungen#

Versicherung als Anwendung auf Risikoentscheidungen (Lotteriebeispiel)

Nachfrage nach Versicherungen#

Annahme: Individuum kennt:

  • Ausgangsvermögen \(w_0\)

  • Schdenswahrscheinlichkeiot p

  • Vermögensverlust L

Prämie = Schadenswahrscheinlichkeit * Schadenssumme => \( p \times A\)

Situation

Kein Unfall

Unfall

Vermögen (mit Vers.)

\(w_0\)

\(w_0 - L\)

**Vermögen (ohne Vers.) **

\(w_0- p \cdot A\)

\(w_0 - pA-L+A\)

für risikoaverses I.: im Optimum A = L (Vollversicherung)

Annahem: aktuarisch faire Prämie: kostenlose Bewegung von Vermögen zwischen den Zuständen

Versicherungsmärkte#

wie funktionieren Versicherungsmärkte

Risk-Pooling#

  • Zusammenfassung von individuellen Risiken zu Gruppen

  • Gesetz der großen Zahlen minimiert das Risiko zu Eintreten mit bekannter Sicherheit

  • Risiko wird beherrschbar

Beispiel:

  • Schaden eines Fahrraddiebstahls Bernoulli Verteilung mit p Wahrscheinlihckeit

  • n unabhängige Diebstähle = Binomialverteilung \((n,p)\)

  • Erwartungswert = \(n \times p\)

ohne Versicherung

Versicherung

2022-12-06_17-03-27

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Risk Spreading#

bei zusammenhängenden Risiken wie Erdbeben etc. funktioniert Pooling nicht!

  • Einspringen von Staat

  • Verteilung von einzelnen auf viele (Steuerzahler)

Risk Transfer#

Transferierung von Risiken zwischen Indivudeen aufgrund unterschiedlicher Aversität

  • bisher nur Art der Risikoaversion (konvex, konkav, linear)

  • jetzt Maß der Aversion

Arrow Pratt Maß: absolute Risikoaversion

\[ r_A(x) = \frac{u''(x)}{u'(x)} \]

relative Risikoaversion: $\( r_R(x) = \frac{xu''(x)}{u'(x)} \)$ Beispiel:

  • 2 Indivuen mit Nutznefunktion: \(u(w) = ln(w)\)

  • Individuum 1: \(w=200.000\), 50% Risiko von Verlust 100.000

  • Individuum 2: \(w=2.000.000\)

Risikoprämie für Person 1:

  • Erwartungswert: \(EV = 150000\)

  • Erwartungsnutzen: \(0,5 \ln(200.000)+0,5\ln(100.000) = 11,859\)

  • Sicherheitsäquivalent:

    • \(U(CE) = EU \to ln(CE) = 11,859\)

    • \(CE = e^{11,859} = 141.350,8\)

  • Risikoprämie: \(R = EV-CE = 150.000- 141.350= 8649\)

Wann würde Person 2 das Risiko übernehmen wollen?

  • \(EV = 1.950.000\)

  • \(EU = 0,5 \ln(2.000.000)+0,5 \ln(1.950.000) = 14,483\)

  • \(CE = e^{14,483} = 1,949.337,2\)

  • \(R = 1.950.000 - 1,949.337,2 = 662,75\)

Vergleich der Risikoprämien

  • Risikoprämie 1: 8649€ (Bereitschaft Risiko abzugeben)

  • Risikoprämie 2: 662,75€ (Bereitschaft Risiko aufzunehmen)

Asymmetrische Informationsverteilung#

Verschiedene Indivdueen haben andere Risiken:

  • eine Person hat 3 Schlösser am Rad

  • die andere schließt nicht an

Problem:

  1. Versicherung kennt nicht Einzelrisikos

  2. sie nimmt also Prämie im Mittelwert

  3. Lohnt nicht für geringrisijo-Personen

  4. steigende Preise -> Teufelskreis

Moral Hazard#

Verhaltensänderung der Versicherten

  • Ex-Ante: vor Eintritt des Schadens mehr Risiko

  • Ex-post: nach Eintritt des Schadens teurere Behandlung

erhöht Kosten für Versicherung