01.11.2021 Determinante 2

bei rechter oberer Dreiecksmatrix: \(\begin{array}{rrr} 1 & 4 & 5 \\ 0 & 6 & 2 \\ 0 & 0 & 4 \\ \end{array}\)

=> Determinante ist Produkt der Diagonalelemente

praktisch falls man schon Gauß-Verfahren angewendet hat und Stufenform hat!

Cramersche Regel

Beispiel : \( a_{11} x_1 + a_{12} x_2 = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 = b_2\)

wenn man jetzt \(x_1\) ausrechnen will, dann $\( x_1 = \frac{det \begin{array}{rrr} b_1 & a_{12} \\ b_2 & a_{22} \end{array}}{det \begin{array}{rrr} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}} \)$ Heißt: wenn man ein LGS hat, kann eine Lösung der Qoutient von zwei Determinanten sein

Außerdem: (Satz 74) bei Ax=b ist \(x_k = \frac{det(A_k)}{det(A)}\)

die Matrix \(A_k\) ist A mit der k-ten Spalte ersetzt durch b.

Matrix-Inverse: wenn wir ein Element der inversen Matrix suchen, dann Anwendung der Cramerschen Regel

\(a_{ij}^{-1} = \frac{det([a_1,...,e_j,...,a_n])}{det(A)}\) (in A ersetzen der i-ten Spalte mit dem j-ten Einheitsvektor)

Beispielrechnung: wir suchen die Inverse einer beispielhaften Matrix: Lösungen auf rechter Seite.

Komplexe Zahlen

Einführung der imaginären Einheit i. für i gilt \(i^2 = -1\)

Der Zahlenraum wird bezeichnet als \(\mathbb{C}\) Komplexe Zahlen

Funktionen komplexer Zahlen:

• jede algebraische Gleichung lösbar

• einfacher Beweis von Additionstheoreme

jede komplexe Zahl z ist: \(z = a + ib\) mit a als Realteil und b Imaginärteil

Veranschaulichung von z und \(\overline{z} = a-ib\)

Operationen:

• Addition: Vektoraddition

• Betrag: Abstand zum Ursprung

• Multiplikation: Drehung um Ursprung

• Konjugieren: Spiegeln an reelle Achse