05.04.2022 Einfuehrung#

induktive Statistik:

  • aus Stichprobe Aussagen über eine Grundgesamtheit schließen

  • Grundlage = Wahrscheinlichkeit

Zufallsexperiment: wohldefinierter Vorgang ohne feststehendes Resultat

  • mit Ergebnisse \(\{ w_{1}, w_{2},... \} = \Omega\) Ergebnismenge

  • Ereignis = eine Teilmenge der Ergebnismenge \(A \subseteq \Omega\)

  • Elementarereignis: Eregnis mit einem Ergebnis \(\{w_{1}\}\)

Wahrscheinlichkeit#

  • Ereignis \(A \subseteq \Omega\)

  • Funktion P: \(A \to P(A)\) = Wahrscheinlichkeitsabbildung

kolmogoroffsche Axiome

  1. \(P(A) \ge 0\)

  2. \(P(\Omega) = 1\)

  3. wenn \(A \cap B = \emptyset\) dann \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\)

Laplace Wahrscheinlichkeiten:

  • alle Elementarereignisse gleich wahrscheinlich

  • Eregnis A hat m Elementarereignisse

  • => \(P(A) = \frac{m}{n}\)

Mengen#

Mengenoperationen#

  • Schnittmenge \(A \cap B\)

  • Vereinigungsmenge \(A \cup B\)

  • Differenzmenge \(A \setminus B\)

  • Komplementärmenge \(A^{C}\)

Beispiel im Casino mit Falschspielern F und Trickstern T und Darstellung mit Venn

Rechenregeln#

  • kommutativ: \(A \cap B = B \cap A\)

  • assoziativ: \((A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)\)

  • distributiv: \((A \cap B) \cup C = (A \cup C) \cap (A \cup B)\)

  • de Morgan:

    • \((A \cap B)^{C}= A^{C} \cup B^{C}\)

    • \(A \subseteq B \to B^{C} \subseteq A^{C}\)