22.11.2021 Streuungsmaße#

Darstellung der Variationsbreite von Beobachtungen

immer positiv

einfache Streuungsmaße#

  • Spannweite (Gesamtbreite der Häufigkeitsverteilung): \(R = x_{ (n) } - x_{ (1) }\)

  • Interquartilabstand: \(d_Q = x_{0.75} - x_{0.25}\)

21-11-22_19-54

Streuungsmaße mit Lagebezug#

MAD#

Median der absolute Abweichung vom Median

MAD \( = med\{ |x_i - x_{med}|, i= 1,\dots,n \}\)

Standardabweichung#

Mittelwert der (quadrierten) Abweichung vom Mittelwert

Voraussetzung: kardinal skaliertes Merkmal X

Berechnung:

  1. Abweichung von \(x_i\) von \(\bar{x}\) und ihr Quadrat \((x_i - \bar{x})^2\)

  2. Mittelwert der Abweichung: \(\frac{1}{n} * \sum^n_{i=1} (x_i - \bar{x})^2 = \tilde{s}^2\) = Varianz

  3. Quadratwurzel aus Varianz: \(\sqrt{ \tilde{s}^2 }\) = Standardabweichung

vereinfachte Berechnung mithilfe von Verschiebungssatz (Formel S.8) = \(\left( \frac{1}{n} \sum^n_{i=1} x_i^2 \right) - \bar{x}^2\)

Variationskoeffizient#

unabhängig von Maßstab / Einheiten

Berechnung: \(v = \frac{\tilde{s}_x}{\bar{x}}\) (mit \(\bar{x}\) > 0)

Verhalten bei Transformation#

Ausgangssituation mit Werten \(x_i\) und Transformation mit \(y_i = a * x_i + b\)

Dann:

  • Das additive b ist unwichtig (weil nur Verschiebung)

  • Varianz: \(\tilde{s}_y^2 = a^2 * \tilde{s}^2_x\)

  • Standardabweichung: \(\tilde{s}_y = |a| * \tilde{s}_x\)

z-Standardisierung#

spezielle Transformation bei Kenntnis besonderer Kenngrößen

Berechnung: \(z_i = \frac{x_1 - \bar{x}}{\tilde{s}_x }\)

Folge: \(\bar{z}\) = Mittelwert = 0 ; \(\tilde{s}^2_z\) = Standardabweichung = 1

#

Schwankungsbereiche#

Arithm. MIttel + Standardabweichung = Konstruktion von Schwankungsbereichen

  1. Intervall: \(\bar{x} \pm 1*\tilde{s}\) enthält 68% aller Beobachtungen

  2. Intervall: \(\bar{x} \pm 2*\tilde{s}\) enthält 95% aller Beobachtungen

  3. Intervall: \(\bar{x} \pm 3*\tilde{s}\) enthält 99% aller Beobachtungen