28.10.21#
Determinanten#
Die Determinante spannt eine Parallelogram / Raum auf.
Zusammenfassung von Vektoren spaltenweise in eine Matrix mit n x n
Berechnung von Determinanten
Beispielrechnung:
Regel von Sarrus bei n=3:
Erweitern der Matrix durch wiederholen der ersten beiden Spalten
3 Diagonalen nach rechts unten ausrechnen
3 Diagonalen nach links unten ausrechnen mit - als Vorzeichen
zusammenrechnen
Regeln der Determinanten
skaliert man Spalte mit alpha, dann auch Determinante mit alpha
zwei Spalten vielfache voneinander -> Det = 0 (weil beide Vektoren in gleiche Richtung zeigen = keine Fläche)
Spalte einer Matrix nur Nullen -> Det = 0
Wert Determinante ändert sich nicht, wenn Vielfaches einer Spalte auf andere addiert wird
Elementarmatrizen#
sind quasi Matrizen zur Beschreibung der Gaußschen Operationen
Beispielsweise:
Additionsmatrizen \(R_{ij}\) : addiert alpha-fache der i-ten Zeile auf j-te
Vertauschungsmatrizen : Vertauschen von i-ter und j-ter Spalte
Skalierungsmatrizen: Skalieren der i-ten Zeile mit alpha
Beispielrechnung:
wichtige Sätze zu Determinanten#
Determinantenmultiplikationssatz: det(AB) = det(A) * det(B), falls man irgendwas schon weiß!
Transponieren ändert Determinante nicht
praktische Sätze, die alle das gleiche bedeuten:
Rang(A) = n
die Inverse \(A^{-1}\) existiert
Ax = b ist lösbar
det(A) \(\neq\) 0
=> erlaubt, Sachverhalt anders auszudrücken und Eigenschaften abzuleiten!
Berechnung von Determinanten#
Mit Laplace Entwicklungssatz: für Matrizen n>3
Beispielrechnung: 