15.04.2022 Wahrscheinlichkeit#

Bedingte Wahrscheinlichkeit#

  • bisher: Wahrscheinlichkeit von Ereignis A = \(P(A)\)

  • jetzt: bedingte Wahrscheinlichkeit von A mit Kenntnis von B

    • = \(P(A|B)\)

Notation: \(P(A|B) = \frac{P (A\cap B)}{P(B)}\) -> Umstellen \(P(A \cap B) = P(A|B) * P(B)\) (Produktsatz)

mehrere Bedingungen#

Beispiel Wetter

  • Wahrscheinlichkeit von Schirm mitnehmen A

  • unter Bedingungen

    • \(B_1\) : es regnet

    • \(B_2\) : es regnet nicht

Notation: \(P(A) = P(A \cap B_{1})+ P(A \cap B_{2})\)

Totale Wahrscheinlichkeit#

aus mehreren Bedingungen => Satz der totalen Wahrscheinlichkeit

  • Bedingungen \(B_{1}, B_{k}\)

    • müssen disjunkte, vollständige Zerlegung einer Grundmenge sein

  • dann: \(P(A)= \sum_{i=1}^{k}P(A|B_{i})* P(B_{i})\)

Umkehranalyse: Wahrscheinlichkeit von Bedingung B = \(P(B_j | A)\)

Satz von Bayes#

2022-04-15_17.50.05

Beispiel: Gerät zur Erkennung von Falschgeld

  • A = Gerät erkennt Fälschung

  • \(B_1\) = Schein ist falsch

  • \(B_2\) = Schein ist echt

\(B_1, B_2\) disjunkte und vollständige Zerlegung der Menge aller Geldscheine

Herstellerangaben zu Wahrscheinlichkeiten

  • Erkennungsrate \(P(A|B_1) = 0.97\)

  • Falsch-Positiv-Rate \(P(A|B_2) = 0.05\)

  • Fälschungswahrscheinlichkeit \(P(B_1) = 0.0001\)

Frage: \(P(B_1 | A)\) wie sicher ist der schein gefälscht wenn Gerät piepst

nach Bayes (mit viel Einsetzen): 0.01904 = 2% korrekte Warnungen!