2021-11-15 Quadratische Formen

Quadratische Formen

Quadratische Formen: Sei A eine quadratische Matrix und x ein beliebiger Vektor, dann: \(x^T Ax\) ist quadratische Form

Maitrix heißt:

• positiv-definit: wenn \(x^T Ax > 0\)

• Positiv-semidefinit: \(x^T Ax \geq 0\)

• Negativ-definit: \(x^T Ax < 0\)

• Negativ-semidifinit: \(x^T Ax \le 0\)

• Indefinit: irgendwie random

nützlich für lokale Extrema etc, wie bei Analysis in Schule

Beispiel:

Eigenschaften:

1. ist A positiv-definit => -A ist negativ-definit

   • Beweis: \(x^T (-A)x = -x^T Ax\)

2. Diagonalmatrix: wenn alle Diagonaleinträge positiv sind => positiv-definit

   • Beweis (mit Einheitsvektoren): \(e_1^T D e_1 = D_{11}\) und das ist per definition größer als 0

3. symmetrische Matrix: wenn Eigenwerte positiv => positiv-definit

4. symm. Matrix: (Hesse-Determinanten-Satz) : wenn Unterdeterminanten positiv, dann positiv-definit

5. symm. Matrix: nur wenn Unter-Determinanten abwechelndes Vorzeichen => negativ-definit

Beispiel 100: Berechnung mit zwei Wegen zu Eigenschaft 4

alle Unter-Determinanten > 0 => positiv-definit