Formelsammlung#

Haushalte#

Nutzenfunktion \(U(x_1,x_2) = x_1^a x_2^b\) (oder ähnlich)
IDK: Nutzenfunktion nach \(x_2\) umstellen
- MRS \(= \frac{MU_x}{MU_y}\)
  - subjektives Substitutionswollen
  - Steigung der IDK
  - Ableitung der Nutzenfunktion nach x/y
Budgetgerade: \(B = p_1 x_1+p_2 x_2\)
- MRT = \(-\frac{p_1}{p_2}\)
  - objektives Substitutionskönnen
  - Steigung: \(x_2 = -\frac{p_1}{p_2} x_1 + \frac{B}{p_2}\)
Gleichgewicht: \(MRS =MRT\)
Elastizität der Nachfrage: \(\epsilon_{x,p}= \frac{\Delta x \%}{\Delta p \%} = \frac{\Delta x / x}{\Delta p / p}\) , dimensionslos
- \(\epsilon = 0\): vollkommen elastisch
- \(0 < \epsilon < 1\) relativ unelastisch
- \( 1 \le \epsilon < \infty\): relativ elastisch
Auch: Einkommenselastizität: \(\frac{\Delta x / x}{\Delta B / B}\)

Gewinn = Erlös - Kosten: \(G(x) = E(x) - C(x)\)
Isoquatenfunktion = Produktionsfunktion zweier Inputs \(x(r_1,r_2)\)
- Steigung: MRTS = \(\frac{\Delta r_2}{\Delta r_1} \bigg|_T = -\frac{\frac{\partial x}{\partial r_1}}{\frac{\partial x}{\partial r_2}}\)
- technisches Substitutionskönnen
Kostenfunktion: \(C = q_1 * r_1 + q_2 * r_2\)
- Kapital + Arbeit: \(C = wL+qK\)
- Funktionsumstellung: \(K = -\frac{w}{q}L+\frac{C}{q}\)
- MRMS = \(-\frac{q_1}{q_2}\)

Optimum: mithilfe der Lagrangefunktion \(L = wL+qK + \lambda (x-L^a K^b)\)

Kosten \(C = C_V + C_F\)
- Durchschnitsskosten :\(\frac{C}{x} = \frac{C_v}{x} + \frac{C_F}{x}\)
- \(\frac{C}{x}\) = Average Total Cost
- \(\frac{C_V}{x}\) = Average Variable Cost
- \(\frac{C_F}{x}\) = average Fixed Cost

langfristiges Angebot: \(p = ATC_{min}\)

kurzfrisitges Angebot: \(p = MC\)

Vertikaladdition von Supply: \(x_m = x_1+x_2\) (umstellen der Angebotsfunktion nach x)

Einkommen \(I = w \cdot t_A\) (Lohn mal Abreitszeit)
Wertgrenzprodukt Arbeit \(WGP_A = p \cdot \frac{\partial x(L,K)}{\partial L}\)
- Beitrag des letzten eingestellten Mitarbeiters = Grenzvorteil
- Grenznachteil = Lohnkosten
Optimum: \(w = WGP_A\)

Budgetbeschränkung

gegenwärtige Wert zukünftiger Auszahlungen \(B = \frac{m}{(1+r)^t}\)
- m = heutige Einzahlung
- r = Zins
Intertemporal: Budget Aufteilung auf ein Gut in zwei Perioden
- \(x_{p2}, x_{p1}\) = Güter in Periode 1/2
- \(m_1,m_2\) = Einkommen in Periode 1 / 2
- Preise der Güter sind konstant und gleich 1
- Budget in Zukunftswerten: \(\overbrace{(1+r) * m_1 + m_2}^{\text{Budget}} = \overbrace{(1+r) * x_{p1} + x_{p2}}^{\text{Ausgaben}}\)
- B in Gegenwartswerten: \(\underbrace{m_1 + \frac{m_2}{(1+r)}}_{\text{Budget}} = \underbrace{x_{p1} + \frac{x_{p2}}{(1+r)}}_{\text{Ausgaben}}\)
Güterkonsum in Periode 2: \(x_{p2} = m_2 + (1+r)*(m_1-x_{p1})\)
intertemporalen Budgetgerade: \(x_2 = -MRT \cdot x_1 + IPO\)
- MRT: \(- (1+r)\)
- Schnitt Y-achse (IPO) = \(m_1 \cdot (1+r) + m_2\)
- Schnitt X-achse (IPA)= \(m_1+ \frac{m_2}{(1+r)}\)

Optimierung mithilfe \(L = U(x_{p1}, x_{p2}) + \lambda \ [m_1 * (1+r) + m_2 - (1+r)x_{p1} - x_{p2}]\)

Zeitpräferenzrate Tau \(\tau = \frac{MU(x_{p1})- MU(x_{p2})}{MU(x_{p2})} = r\) Zinssatz

Risiko

Mögliche Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Entscheidung \(W = [\underbrace{s_1,...,s_n}_{\text{Ereignisse}}\; , \underbrace{\pi_1, ...,\pi_n}_{\text{Wahrscheinlichkeiten}}]\)
Erwarteter Nutzen: \(EU = U(s_1) \cdot \pi_1 + U(s_2) \cdot \pi_2 + ...\)
Erwartungswert: \(EV = s_1 \cdot \pi_1 + s_2 \cdot \pi_2 + ...\)
Entscheidend für Risikoverhalten: \(U(EV) \neq EU\)
- \(U(EV) = EU\): risikoneutral
- \(U(EV) > EU\): risikoavers
- \(U(EV) < EU\): risikoneutral
  - Nutzen der sicheren Alternative < Nutzen der unsicheren Alternative

Versicherungen

\(y^*\) = Einkommen / yield
L = Loss / Verlust
Versicherungsprämie: \(P =p \cdot q\)
- p = Versicherungssatz (in Prozent)
- q = Versicherungssumme

Outcomes	keinen Schaden	Schaden
ohne Vers.	\(y^*\)	\(y^* -L\)
mit Vers.	\(y^- (pq)\)	\(y^* - L+q - (p*q)\)

\(y_b\) = Einkommen im Schadensfall
\(y_g\) = Einkommen im Fall ohne Schaden
\(EU = U(y_g) \cdot (1-\pi) + U(y_b) \cdot \pi\)
\(EV = y_g \cdot (1-\pi) + y_b \cdot \pi\)
Indifferenzkurve eines Punktes P: \(EU_P = EU\) gleichsetzen und nach \(y_b\) umstellen
- BSP: \(8 = 0.4 y_g^{0.5} + 0.6 y_b^{0.5}\) für Punkt mit EV=8 und Nutzenfunktion \(U=y^{0.5}\)
- => \(y_b = (20-1,5y_g^{0.5})^2\)
Budgetgerade: \(y_b = -MRT \ y_g + SPO\)
- \(MRT =\frac{1-p}{p}\) Substitutionskönnen zwischen \(y_b\) und \(y_g\)
  - Aufgeben von einem Euro -> Schadensfall \(\frac{1-p}{p}\) Euro mehr
- \(SPO = \frac{y^*}{p}L\)
  - = Alles geld wird in Versicherung gesteckt
Substitutionswollen: \(- \frac{1-\pi}{\pi} * \frac{\frac{\partial U}{\partial y_g}}{\frac{\partial U}{\partial y_b}} = MRS\)

Optimiere mit Lagrange: \(max U(y_g,y_b)\) s.t \(y_b = y_g+125\)

im Optimum: \(MRS = MRT \to \frac{1-\pi}{\pi} * \frac{MU_{y_g}}{MU_{y_g}} = \frac{1-p}{p}\)

Gewinnoptimum: \(Grenzkosten = Grenzerloese\)
- Erlöse(x): \(p(x) \cdot x\) = (PAF * x)
- Grenzerlöse = \(\frac{\partial E}{\partial x} = \frac{\partial p(x) \cdot x}{\partial x}\)
Mengenfixierung: \(G(x) = p(X) * X - K(X)\)
- \[\begin{split} \frac{\partial G}{\partial X} = \underbrace{\frac{\partial p}{\partial X} * X}_{T_1} + \underbrace{p* \frac{\partial X}{\partial X}}_{T_2} - \underbrace{\frac{\partial K}{\partial X} }_{T_3} = 0 \text{ mit } \frac{\partial X}{\partial X} = 1 \\ \to T_1 + T_2 - T_3 = 0 \end{split}\]
Preisfixierung: \(G(p) = p \cdot X(p) - K(X\small(p) \big)\)
Amoroso Robinson Fomel: \(p = \frac{\overbrace{\frac{\partial K}{\partial X}}^{MC} }{ 1- \frac{1}{|\varepsilon_{x,p|}}}\)
- je niedriger Elastizität => höhere Monopolpreisaufschlag
- wenn Elastizität unendlich; Monopolpreis = Grenzkosten = Polypolbedingung
- umgestellt nach \(\epsilon = \frac{1}{1- \frac{MC}{p}}\)