30.11.2022 Risiko und Unsicherheit#

Entscheidung unter Unsicherheit:

  • unklar über Wahrscheinlichkeiten anderer Zustände der Welt

  • Beispiel Schulschließungen

Entscheidung unter Risiko

  • Warhrscheinlichkeiten sind bestimmbar und bekannt

  • Beispiel Impfung

Unsicherheit#

Ergebnisse der verschiedenen Zustände der Welt bekannt, aber Wahrscheinlichkeiten nicht

  • Entscheidungen haben ein Minimalergebnis und ein Maximalergebnis

  • Bsp.: Lottospielen; Min=0, Max=100Mio.

Entscheidungsregeln:

  • Maximin: wähle Alternative mit größtem Minimum

  • Maximax: Alternative mit größtem Maximum

  • Minimax-Regret: wähle Alternative mit kürzestem Bedauern

Beispiel: Regenschirm mitnehmen

img

Bedauern: Differenzen in einer Spalte:

Regen

kein Regen

mit schirm

0

2 (=3-5)

ohne schirm

3 (0-3)

0

Entscheidungen:

  • Maximin: Schirm mitnehmen

  • Maximax: kein Schirm

Risiko#

Erwartungswert#

ab jetzt: Wahrscheinlichkeiten bekannt

Beispiel Lotterie:

  • Liste Ereignisse \((S_1,\dots,S_n)\)

  • mit Wahrscheinlichkeiten \((Pr_1, ..., Pr_n)\)

  • mit \(\sum Pr_j = 1\)

  • und Outcomes \(C_1,...,C_n\)

Erwartungswert: \(EV(Lotterie) = Pr(S_1) \times C_1+...\)

Aber: Erwartungswert oft nicht psychologisch nachgewiesen

Erwartungsnutzen#

Expected Utility: Den Wert in eine Nutzenfunktion reinstecken $\( EU(Lotterie) = Pr(S_1) \times U(C_1)+... \)$ erlaubt dann also abnehmenden Grenznutzen von Geld

Petersburg Paradoxon:#

Glücksspiel: Münze werfen bis Kopf kommt, für jede Runde Zahl das Vielfache von 2€

Nehme das Spiel an, für Einsatz von 1000€

Erwartungswert: $\( EV= \frac{1}{2}2+\frac{1}{4}4+... = \infty \)\( Erwartungsnutzen: mit \)u(x) = \log(x)\( \)\( EU = \frac{1}{2} log(2)+\frac{1}{4}log(4)+... = 0.602 \)\( Vergleich dazu: \)log(1000) = 6.7$, also geld behalten

Risikopräferenzen#

Bei gleichem Erwartungswert einer sicheren Alternative und Lotterie ist Individuum:

  • Risikoavers: wählt sichere Alternative

  • risikoneutral: indifferent

  • risikoliebend: wählt Lotterie

Lotteriebeispiel#

Angebot von Betrag x fürs nicht spielen und Gewinn mit Wahrscheinlichkeit

Sicherheitsäquivalent CE: Wert, an dem man indifferent ist zwischen Spiel und nicht Spiel

für gilt: \(U(CE) = EU(Gewinn)\)

Risikoprämie: Wert, auf den man bereit wäre zu verzichten, um nicht spielen zu müssen

definiert als \(R = EV-CE\)

Beispiel:

  • Lotterie mit Gewinn = 9€ bei Wahrscheinlichkeit 1/4 und Gewinn = 1€ mit 75%

  • Alternativ 4€ auf die Kralle

Erwartungswerte:

  • \(EV(L) = \frac{1}{4}9 + \frac{3}{4} = 3\)

  • \(EV(A) = 4\)

Ewarteter Nutzen mit \(u(x)= \sqrt{x}\)

  • \(EU(L) = \frac{1}{4}\sqrt{9}+ \frac{3}{4}= 1.5\)

  • \(EU(A) = \sqrt{4} = 2\)

  • Sicherheutsäquivalent: \(U(CE)=\sqrt{CE} =1.5 \to CE = 2.25\)

  • Risikoprämie: \(R = \)

Erwarteter Nutzen mit \(u(x) = x^2\)

  • \(EU(L) = \frac{1}{4}9^2 = 20,25\)

  • \(EU(A) = 4^2 = 16\)