02.11.2022 Marshall Nutzenfunktion#

Entscheidungsproblem eines Komnsumenten

  • Budget I (Income)

  • Preise von Gütern x,y

Budgetbedingung \(I = p_x x + p_y y\)

  • Budget wird vollständig ausgegeben

  • Präferenz Trade off (innerer Tradeoff des Konsumenten)

    • Grenzrate der Substitution

  • Markt Trade-off (Verhältnis der Preise)

    • Grenzrate der Transformation

im Optimalpunkt

  • Steigung der Budgetgerade = Steigung der Indifferenzkurve

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Lagrange Ansatz#

Optimierungsproblem: $\( \max U(x,y) \ s.t \ p_x x+ p_yy \le I \\ \to L = U(x,y)+ \lambda (I-p_x x-p_y y) \)\( Jetzt: Ableiten (\)x,y,\lambda\() und 0 setzen \)\( I.\frac{\partial L}{\partial x} = \frac{\partial U}{\partial x} = MU_x - \lambda p_x = 0\\ II.\frac{\partial L}{\partial x} = \frac{\partial U}{\partial y} = MU_y - \lambda p_y = 0\\ III.\frac{\partial L}{\partial \lambda} = I-p_x x-p_y y = 0 \)$

aus 1. und 2: $\( \lambda = \frac{MU_x}{p_x} = \frac{MU_y}{p_y} \\ \frac{MU_x}{MU_y} = \frac{p_x}{p_y} \to MRS = MRT \)$

\(\lambda\) = Schattenpreis

  • Nutzenveränderung einer kleinen Einkommensänderung

  • also leichte Lockerung der Budgetrestriktion

  • nur ordinal interpretierbar!

Marshallsche Nachfrage#

Marshallshe Nachfragefunktion: von Gut nachgefrage Menge abhängig von Preisen und Einkommen

Notation: \(d_x (p_x, p_y, I)\)

  • Erklärung von Nachfrageänderung bei Preisänderung etc

  • Math. : Menge von Tangentialpunkten zwischen Indifferenzkurven

Veranschaulichung:

img

Übung dazu#

Marshallsche Funktion $\( \max U(x,y) \ s.t \ p_x x+ p_yy \le I \\ \to L = A \cdot x_1^a \cdot x_2^b+ \lambda (I-p_1 x-p_1 y) \)\( Ableitungen \)\( \begin{aligned} I.\frac{\partial L}{\partial x} &= A \cdot a x_1^{a-1} \cdot x_2^b - \lambda p_1 = 0\\ II.\frac{\partial L}{\partial x} &= A \cdot b x_2^{b-1} \cdot x_1^a - \lambda p_2 = 0\\ III.\frac{\partial L}{\partial \lambda} &= I-p_1 x-p_2 y = 0 \end{aligned} \)\( Folgerungen (I und II nach Lambda umstellen) \)\( \lambda = \frac{A \cdot a x_1^{a-1} \cdot x_2^b}{p_1} \\ \lambda = \frac{A \cdot b x_2^{b-1} \cdot x_1^a}{p_2} \\ \to x_2(x_1) = \frac{b}{a} \cdot \frac{p_1}{p_2} \cdot x_1 \)\( in III einsetzen und voilà \)\( x_1^* (p_1,p_2, I) = \frac{I}{p_1} \cdot \frac{1}{1+ \frac{b}{a}} \\ x_2^* (p_1, p_2, I) = \frac{I}{p_2} \cdot \frac{b}{a+b} \\ \)$ das sind die Optima

Schlussfolgerungen (bei Gut 1)

  • steigt \(p_1\), sinkt Menge von \(x_1\)

  • wenn \(I\) steigt, steigt auch \(x_1\)

  • \(p_2\) hat keinen Einfluss auf Menge für \(x_1\)

    • nicht immer!

Indirekte Nutzenfunktion#

gibt maximalen Nutzen bei geg. Einkommen und Preisniveau an

  • aus direkter Nutzenfunktion

  • praktisch, weil man nicht andauernd Optimierungsproblem neu berechnen muss

  • mit p = Preisvektor

Notation: \(V(p, I) = U(x^* (I,p) , \ x*(I,p))\)