16.11.2021 weitere Lagemaße#

Median#

Median: Mitte einer geordneten Beobachtungsreihe

wenn n ungerade: \(x_{med}= x_{ \left( \frac {n+1} {2} \right) }\)= Mittlere Zahl

wenn n gerade: \(x_{med} = \frac{1}{2} * \left( x_{\left( \frac {n} {2} \right)} + x_{\left( \frac {n+1} {2} \right)} \right)\) = Mittelwert der mittleren Zahlen

Modus#

Modus: Merkmal mit größter Häufigkeit \(x_{mod}\)

wie viele Merkmale von Modus gibt es = Modalitätsgrad

Modalitätsgrad = \(h(x_{mod}) / n\) relative Häufigkeit des Modus

Sonderfälle#

Transformationen#

Transformation von Lagemaßen bei linearen Transformationen möglich: \(y_i = a*x_i + b \iff \bar{y} = a * \bar{x} + b\)

Klassierte Daten#

Lagemaße wie arithmetisches Mittel nur näherungsweise berechenbar

Vorgehen:

  1. für jede Klasse Klassenmitte m bilden

  2. m gewichten mit mit häufigkeit f

  3. Durchschnitt aller Klassen bilden

Notation: \(\bar{x}_{klass} = \sum_{j=1}^k m_j * f_j\)

Quantile#

Aufteilung der Beobachtung in Werte unter-/ oberhalb von \(x_p\)

p-Quantil: \(x_p\) teilt Beobachtungsreihe auf in zwei Anteile

21-11-16_14-13

für 0 < p < 1;

falls n*p nicht ganzzahlig = aufrunden

Studiendauer: n = 36, p = 0,9
n * p = 36 * 0.9 = 32.4 -> aufrunden auf 33
=> 33ten Wert aus geordneter Reihe ablesen

Ergebnis: \(x_{(0.9)} = x_{(33)} \)

falls n*p ganzzahlig = Mittelwert von \(n*p \) und \( n*p+1 \)

Studiendauer, n = 36, p = 0.75
n*p = 27 -> ganzzahlig
=> Mittelwert aus 27ten und 28ten Wert

Ergebnis: \(x_{(0.75)} = \frac{1}{2}* (x_{(27)} + x_{(28)} )\)

Spezielle Quantile#

  • p = 0.25 : 1. Quartil

  • p = 0.5 = Median, 2. Quartil

  • p = 0.75 : 3. Quartil

Fünf-Punkte-Zusammenfassung#

Beobachtungen unterteilt in 4 Intervalle durch 5 Schnitte

  • \(x_{(1)}\) = Minimum

  • 1. Quartil

  • Median

  • 3. Quartil

  • \(x_{(n)}\) = Maximum

Graphische Darstellung mithilfe des Boxplots

21-11-16_14-42